Ratsional funktsiyaning grafigini qanday chizish mumkin.

Ratsional funksiya y = N(x)/D(x) ko‘rinishdagi tenglama bo‘lib, bunda N va D ko‘phadlar bo‘ladi. To'g'ri grafikni qo'lda chizishga urinish, asosiy algebradan tortib differensial hisoblashgacha bo'lgan eng muhim o'rta maktab matematika mavzularini har tomonlama ko'rib chiqish bo'lishi mumkin. Quyidagi misolni ko'rib chiqing: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Qadamlar

1. 

   y kesmasini toping. Shunchaki x = 0 ni o'rnating. Doimiy shartlardan tashqari hamma narsa yo'qoladi va y = 5/2 qoladi. Buni koordinata juftligi sifatida ifodalash (0, 5/2) grafikdagi nuqtadir. O'sha nuqtani chizing.

2. 

   Gorizontal asimptotani toping. X ning katta absolyut qiymatlari uchun y ning xatti-harakatini aniqlash uchun maxrajni hisoblagichga uzoq vaqt ajrating. Ushbu misolda bo'linish y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4) ekanligini ko'rsatadi. X ning katta musbat yoki manfiy qiymatlari uchun 17/(8x + 4) nolga yaqinlashadi va grafik y = (1/2)x - (7/4) chiziqqa yaqinlashadi. Chiziqli yoki engil chizilgan chiziqdan foydalanib, ushbu chiziqning grafigini tuzing.
   • Agar payning darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa, bo'linish bo'lmaydi va asimptota y = 0 bo'ladi.
   • Agar deg (N) = deg (D), asimptota etakchi koeffitsientlar nisbati bo'yicha gorizontal chiziqdir.
   • Agar deg (N) = deg (D) + 1 bo'lsa, asimptota qiyaligi etakchi koeffitsientlar nisbati bo'lgan chiziqdir.
   • Agar deg(N) > deg(D) + 1 bo'lsa, u holda |x| ning katta qiymatlari uchun y kvadrat, kub yoki yuqori darajali polinom sifatida tezda musbat yoki manfiy cheksizlikka o'tadi. Bunday holda, bo'linish koeffitsientini to'g'ri grafigini tuzish maqsadga muvofiq emas.

3. 

   Nollarni toping . Ratsional funktsiyaning numeratori nolga teng bo'lsa, u nolga ega, shuning uchun N(x) = 0 ni o'rnating. Misolda, 2x - 6x + 5 = 0. Bu kvadratning diskriminanti b - 4ac = 6 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Diskriminant manfiy bo'lgani uchun N(x) va natijada f(x) ning haqiqiy ildizlari yo'q. Grafik hech qachon x o'qini kesib o'tmaydi. Agar nol topilsa, ushbu nuqtalarni grafikga qo'shing.

4. 

   Vertikal asimptotalarni toping . Vertikal asimptota maxraj nolga teng bo'lganda paydo bo'ladi. 4x + 2 = 0 o'rnatilishi vertikal chiziqni beradi x = -1/2. Har bir vertikal asimptotaning grafigini engil yoki kesilgan chiziq bilan chizing. Agar x ning ba'zi bir qiymati N(x) = 0 va D(x) = 0 bo'lsa, u erda vertikal asimptota bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bu kamdan-kam uchraydi, lekin agar u sodir bo'lsa, u bilan qanday kurashish bo'yicha maslahatlarga qarang.

5. 

   2-bosqichda bo'linishning qolgan qismini ko'ring. Qachon ijobiy, salbiy yoki nolga teng? Misolda, qoldiqning soni har doim ijobiy bo'lgan 17 ga teng. Maxraj, 4x + 2, vertikal asimptotaning o'ng tomonida musbat va chap tomonida salbiy. Demak, grafik x ning katta musbat qiymatlari uchun yuqoridagi chiziqli asimptotaga, x ning katta manfiy qiymatlari uchun pastdan esa chiziqli asimptotaga yaqinlashadi. 17/(8x + 4) hech qachon nolga teng bo'lmasligi sababli, bu grafik hech qachon y = (1/2)x - (7/4) chiziqni kesib o'tmaydi. Grafikga hozir hech narsa qo'shmang, lekin keyinroq bu xulosalarga e'tibor bering.

6. 

   Mahalliy ekstremani toping. Mahalliy ekstremum N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0 bo'lganda paydo bo'lishi mumkin. Misolda, N'(x) = 4x - 6 va D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Atalarni kengaytirish, birlashtirish va boʻlish 4 barg bilan x + x - 4 = 0. Kvadrat formula x = 3/2 va x = -5/2 yaqinidagi ildizlarni ko'rsatadi. (Ular aniq qiymatlardan taxminan 0,06 ga farq qiladi, ammo bizning grafigimiz bu darajadagi tafsilot haqida qayg'uradigan darajada aniq bo'lmaydi. Tegishli ratsional yaqinlashuvni tanlash keyingi bosqichni osonlashtiradi.)

7. 

   Har bir mahalliy ekstremumning y-qiymatlarini toping. Tegishli y qiymatlarini topish uchun oldingi ratsional funktsiyaga oldingi qadamdagi x qiymatlarini ulang. Misolda f(3/2) = 1/16 va f(-5/2) = -65/16. Grafikga (3/2, 1/16) va (-5/2, -65/16) nuqtalarni qo'shing. Oldingi bosqichda biz taxmin qilganimiz sababli, bular aniq minimal va maksimal emas, balki yaqin. (Biz bilamizki (3/2, 1/16) mahalliy minimumga juda yaqin. 3-bosqichdan biz x > -1/2 bo‘lganda y har doim ijobiy ekanligini bilamiz va biz 1/16 kabi kichik qiymat topdik, shuning uchun hech bo'lmaganda bu holatda xato chiziq qalinligidan kamroq bo'lishi mumkin.)

8. 

   Nuqtalarni ulang va grafikni ma'lum nuqtalardan asimptotalarga silliq ravishda kengaytiring va ularga to'g'ri yo'nalishdan yaqinlashishga e'tibor bering. 3-qadamda topilgan nuqtalardan tashqari x o‘qini kesib o‘tmaslikka ehtiyot bo‘ling. Gorizontal yoki chiziqli asimptotani 5-bosqichda topilgan nuqtalardan tashqari kesib o‘tmang. Quyidagilardan tashqari yuqoriga qiyalikdan pastga qiyalikgacha o‘zgarmang. oldingi bosqichda topilgan ekstremal.

Video