Как построить график рациональной функции.

Рациональная функция — это уравнение, которое принимает форму y = N(x)/D(x), где N и D — полиномы. Попытка нарисовать точный график от руки может стать всесторонним обзором многих наиболее важных тем школьной математики, от базовой алгебры до дифференциального исчисления. Рассмотрим следующий пример: y = (2x – 6x + 5)/(4x + 2).

Шаги

1. 

   Найдите перехват y. Просто установите x = 0. Все, кроме постоянных членов, исчезает, и остается y = 5/2. Выразив это в виде пары координат, (0, 5/2) — это точка на графике. Изобразите эту точку на графике.

2. 

   Найдите горизонтальную асимптоту. Разделите знаменатель на числитель, чтобы определить поведение y при больших абсолютных значениях x. В этом примере деление показывает, что y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). При больших положительных или отрицательных значениях x 17/(8x + 4) приближается к нулю, а график приближается к линии y = (1/2)x - (7/4). Используя пунктирную или слегка нарисованную линию, изобразите эту линию.
   • Если степень числителя меньше степени знаменателя, деление делать не нужно и асимптота равна y = 0.
   • Если deg(N) = deg(D), асимптота представляет собой горизонтальную линию отношения старших коэффициентов.
   • Если deg(N) = deg(D) + 1, асимптота представляет собой линию, наклон которой равен отношению старших коэффициентов.
   • Если deg(N) > deg(D) + 1, то при больших значениях |x|, y быстро переходит в положительную или отрицательную бесконечность как квадратичный, кубический полином или полином более высокой степени. В этом случае, вероятно, не стоит точно отображать частное деления.

3. 

   Найдите нули . Рациональная функция имеет ноль, когда ее числитель равен нулю, поэтому установите N(x) = 0. В примере 2x - 6x + 5 = 0. Дискриминант этого квадратичного уравнения равен b - 4ac = 6 - 4*2*5. = 36 - 40 = -4. Поскольку дискриминант отрицателен, N(x), а следовательно, и f(x), не имеет вещественных корней. График никогда не пересекает ось X. Если были найдены нули, добавьте эти точки на график.

4. 

   Найдите вертикальные асимптоты . Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель равен нулю. Установка 4x + 2 = 0 дает вертикальную линию x = -1/2. Изобразите каждую вертикальную асимптоту светлой или пунктирной линией. Если какое-то значение x делает как N(x) = 0, так и D(x) = 0, то здесь может быть или не быть вертикальная асимптота. Это случается редко, но если такое произойдет, ознакомьтесь с советами, как с этим бороться.

5. 

   Посмотрите на остаток от деления на шаге 2. Когда он положительный, отрицательный или нулевой? В примере числитель остатка равен 17, что всегда положительно. Знаменатель 4x + 2 положителен справа от вертикальной асимптоты и отрицателен слева. Это означает, что график приближается к линейной асимптоте сверху для больших положительных значений x и снизу для больших отрицательных значений x. Поскольку 17/(8x + 4) никогда не может быть равно нулю, этот график никогда не пересекает прямую y = (1/2)x - (7/4). Не добавляйте ничего к графику прямо сейчас, но запишите эти выводы на будущее.

6. 

   Найдите локальные экстремумы. Локальный экстремум может возникнуть всякий раз, когда N'(x)D(x)-N(x)D'(x) = 0. В примере N'(x) = 4x - 6 и D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Разложение, объединение членов и деление на 4 листа x + x - 4 = 0. Квадратная формула показывает корни вблизи x = 3/2 и x = -5/2. (Они отличаются примерно на 0,06 от точных значений, но наш график не будет достаточно точным, чтобы беспокоиться о таком уровне детализации. Выбор подходящего рационального приближения облегчит следующий шаг.)

7. 

   Найдите значения y каждого локального экстремума. Подставьте значения x из предыдущего шага обратно в исходную рациональную функцию, чтобы найти соответствующие значения y. В примере f(3/2) = 1/16 и f(-5/2) = -65/16. Добавьте эти точки (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) на график. Поскольку на предыдущем шаге мы аппроксимировали, это не точные минимумы и максимумы, но, вероятно, близкие. (Мы знаем, что (3/2, 1/16) очень близко к локальному минимуму. Из шага 3 мы знаем, что y всегда положителен, когда x > -1/2, и мы нашли значение всего 1/16, так что, по крайней мере, в этом случае ошибка, вероятно, меньше толщины линии.)

8. 

   Соедините точки и плавно продлите график от известных точек к асимптотам, стараясь приближаться к ним с правильного направления. Позаботьтесь о том, чтобы не пересекать ось X, за исключением точек, уже найденных на шаге 3. Не пересекайте горизонтальную или линейную асимптоту, кроме как в точках, уже найденных на шаге 5. Не меняйте наклон от восходящего к наклону вниз, за ​​исключением экстремум, найденный на предыдущем шаге.

видео