Cómo encontrar la ecuación de una recta tangente.

A diferencia de una línea recta, la pendiente de una curva cambia constantemente a medida que avanza por la gráfica. Cálculo presenta a los estudiantes la idea de que cada punto de esta gráfica podría describirse con una pendiente o una "tasa de cambio instantánea". La recta tangente es una recta con esa pendiente, que pasa por ese punto exacto de la gráfica. Para encontrar la ecuación de la tangente, necesitarás saber cómo tomar la derivada de la ecuación original.

Pasos

Método 1

Encontrar la ecuación de una recta tangente

1. 

   Dibuja la función y la línea tangente (recomendado). Un gráfico facilita seguir el problema y comprobar si la respuesta tiene sentido. Dibuja la función en una hoja de papel cuadriculado, usando una calculadora gráfica como referencia si es necesario. Traza la recta tangente que pasa por el punto dado. (Recuerde, la recta tangente pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la gráfica en ese punto).
   • Ejemplo 1: Dibuja la gráfica de la parábola f ( x ) = 0.5 x 2 + 3 x − 1 {displaystyle f(x)=0.5x^{2}+3x-1} . Dibuja la tangente que pasa por el punto (-6, -1).
     Aún no conoces la ecuación de la tangente, pero ya puedes decir que su pendiente es negativa y que su intersección con el eje y es negativa (muy por debajo del vértice de la parábola con un valor de y -5,5). Si su respuesta final no coincide con estos detalles, sabrá que debe revisar su trabajo en busca de errores.

2. 

   Toma la primera derivada para encontrar la ecuación de la pendiente de la recta tangente. Para la función f(x), la primera derivada f'(x) representa la ecuación de la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de f(x). Hay muchas formas de tomar derivados. A continuación se muestra un ejemplo sencillo que utiliza la regla de la potencia:
   • Ejemplo 1 (cont.): La gráfica se describe mediante la función f ( x ) = 0.5 x 2 + 3 x − 1 {displaystyle f(x)=0.5x^{2}+3x-1} .
     Recuerde la regla de la potencia al tomar derivadas: ddxxn = nxn − 1 {displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} .
     La primera derivada de la función = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.
     f'(x) = x + 3. Inserta cualquier valor a para x en esta ecuación y el resultado será la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto donde x = a.

3. 

   Ingresa el valor x del punto que estás investigando. Lee el problema para descubrir las coordenadas del punto para el cual estás encontrando la recta tangente. Ingrese la coordenada x de este punto en f'(x). El resultado es la pendiente de la recta tangente en este punto.
   • Ejemplo 1 (cont.): El punto mencionado en el problema es (-6, -1). Usa la coordenada x -6 como entrada para f'(x):
     f'(-6) = -6 + 3 = -3
     La pendiente de la recta tangente es -3.

4. 

   Escribe la ecuación de la recta tangente en forma punto-pendiente. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal es y − y 1 = m ( x − x 1 ) {displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})} , donde m es la pendiente y ( x 1 , y 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1})} es un punto en la recta. Ahora tienes toda la información que necesitas para escribir la ecuación de la recta tangente en esta forma.
   • Ejemplo 1 (cont.): y − y 1 = m ( x − x 1 ) {displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
     La pendiente de la recta es -3, por lo que y − y 1 = − 3 ( x − x 1 ) {displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}
     La recta tangente pasa por (-6, -1), por lo que la ecuación final es y − ( − 1 ) = − 3 ( x − ( − 6 ) ) {displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}
     Simplificar a y + 1 = − 3 x − 18 {displaystyle y +1=-3x-18}
     y = − 3 x − 19 {displaystyle y=-3x-19}

5. 

   Confirma la ecuación en tu gráfica. Si tienes una calculadora gráfica, grafica la función original y la recta tangente para comprobar que tienes la respuesta correcta. Si trabaja en papel, consulte su gráfico anterior para asegurarse de que no haya errores evidentes en su respuesta.
   • Ejemplo 1 (cont.): El boceto inicial mostró que la pendiente de la recta tangente era negativa y la intersección con el eje y estaba muy por debajo de -5,5. La ecuación de la recta tangente que encontramos es y = -3x - 19 en forma pendiente-intersección, lo que significa que -3 es la pendiente y -19 es la intersección y. Ambos atributos coinciden con las predicciones iniciales.

6. 

   Pruebe con un problema más difícil. Aquí hay un repaso de todo el proceso nuevamente. Esta vez, el objetivo es encontrar la recta tangente a f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 5 x + 1 {displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1 } en x = 2:
   • Usando la regla de la potencia, la primera derivada f ′ ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 5 {displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5} . Esta función nos dirá la pendiente de la tangente.
   • Como x = 2, encuentre f ′ ( 2 ) = 3 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) + 5 = 25 {displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5= 25} . Esta es la pendiente en x = 2.
   • Observe que esta vez no tenemos un punto, solo una coordenada x. Para encontrar la coordenada y, reemplaza x = 2 en la función inicial: f ( 2 ) = 2 3 + 2 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) + 1 = 27 {displaystyle f(2)=2^{3} +2(2)^{2}+5(2)+1=27} . El punto es (2,27).
   • Escribe la ecuación de la recta tangente en forma punto-pendiente: y − y 1 = m ( x − x 1 ) {displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
     y − 27 = 25 ( x − 2 ) {displaystyle y-27=25(x-2)}
     Si es necesario, simplifique a y = 25x - 23.

Método 2

Resolver problemas relacionados

1. 

   Encuentra los puntos extremos en una gráfica . Estos son puntos donde el gráfico alcanza un máximo local (un punto más alto que los puntos de cada lado) o un mínimo local (más bajo que los puntos de cada lado). La recta tangente siempre tiene una pendiente de 0 en estos puntos (una recta horizontal), pero una pendiente cero por sí sola no garantiza un punto extremo. A continuación le indicamos cómo encontrarlos:
   • Toma la primera derivada de la función para obtener f'(x), la ecuación de la pendiente de la tangente.
   • Resuelva para f'(x) = 0 para encontrar posibles puntos extremos.
   • Toma la segunda derivada para obtener f''(x), la ecuación que indica qué tan rápido cambia la pendiente de la tangente.
   • Para cada punto extremo posible, reemplaza la coordenada x a en f''(x). Si f''(a) es positiva, existe un mínimo local en a. Si f''(a) es negativa, existe un máximo local. Si f''(a) es 0, hay un punto de inflexión, no un punto extremo.
   • Si hay un máximo o un mínimo en a, encuentre f(a) para obtener la coordenada y.

2. 

   Encuentra la ecuación de la normal. La "normal" a una curva en un punto determinado pasa por ese punto, pero tiene una pendiente perpendicular a una tangente. Para encontrar la ecuación de la normal, aprovecha que (pendiente de la tangente)(pendiente de la normal) = -1, cuando ambas pasan por el mismo punto de la gráfica. En otras palabras:
   • Encuentra f'(x), la pendiente de la recta tangente.
   • Si el punto está en x = a, encuentre f'(a) para encontrar la pendiente de la tangente en ese punto.
   • Calcula − 1 f ′ ( a ) {displaystyle {frac {-1}{f'(a)}}} para encontrar la pendiente de la normal.
   • Escribe la ecuación normal en forma de pendiente-punto.

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