Cómo graficar una función racional.

Una función racional es una ecuación que toma la forma y = N(x)/D(x) donde N y D son polinomios. Intentar dibujar una gráfica precisa de uno a mano puede ser una revisión exhaustiva de muchos de los temas matemáticos más importantes de la escuela secundaria, desde álgebra básica hasta cálculo diferencial. Considere el siguiente ejemplo: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Pasos

1. 

   Encuentra la intercepción y. Simplemente establezca x = 0. Todo menos los términos constantes desaparecen, dejando y = 5/2. Expresando esto como un par de coordenadas, (0, 5/2) es un punto en la gráfica. Grafique ese punto.

2. 

   Encuentra la asíntota horizontal. Divida el denominador en el numerador para determinar el comportamiento de y para valores absolutos grandes de x. En este ejemplo, la división muestra que y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Para valores positivos o negativos grandes de x, 17/(8x + 4) se aproxima a cero y la gráfica se aproxima a la recta y = (1/2)x - (7/4). Usando una línea discontinua o ligeramente trazada, grafica esta línea.
   • Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, no hay que hacer división y la asíntota es y = 0.
   • Si grados (N) = grados (D), la asíntota es una línea horizontal en la relación de los coeficientes principales.
   • Si grados(N) = grados(D) + 1, la asíntota es una recta cuya pendiente es la relación de los coeficientes principales.
   • Si grados(N) > grados(D) + 1, entonces, para valores grandes de |x|, y rápidamente pasa al infinito positivo o negativo como un polinomio cuadrático, cúbico o de grado superior. En este caso, probablemente no valga la pena graficar con precisión el cociente de la división.

3. 

   Encuentra los ceros . Una función racional tiene cero cuando su numerador es cero, así que establezca N(x) = 0. En el ejemplo, 2x - 6x + 5 = 0. El discriminante de esta cuadrática es b - 4ac = 6 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Como el discriminante es negativo, N(x) y, en consecuencia, f(x), no tienen raíces reales. La gráfica nunca cruza el eje x. Si se encontraron ceros, agregue esos puntos al gráfico.

4. 

   Encuentra las asíntotas verticales . Una asíntota vertical ocurre cuando el denominador es cero. Configurar 4x + 2 = 0 da la línea vertical x = -1/2. Grafica cada asíntota vertical con una línea clara o discontinua. Si algún valor de x hace que N(x) = 0 y D(x) = 0, puede haber o no una asíntota vertical allí. Esto es poco común, pero consulte los consejos sobre cómo abordarlo si ocurre.

5. 

   Mira el resto de la división en el paso 2. ¿ Cuándo es positivo, negativo o cero? En el ejemplo, el numerador del resto es 17 que siempre es positivo. El denominador, 4x + 2, es positivo a la derecha de la asíntota vertical y negativo a la izquierda. Esto significa que la gráfica se aproxima a la asíntota lineal desde arriba para valores positivos grandes de x y desde abajo para valores negativos grandes de x. Dado que 17/(8x + 4) nunca puede ser cero, esta gráfica nunca corta la recta y = (1/2)x - (7/4). No agregues nada al gráfico ahora, pero toma nota de estas conclusiones para más adelante.

6. 

   Encuentra los extremos locales. Un extremo local puede ocurrir siempre que N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. En el ejemplo, N'(x) = 4x - 6 y D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Desarrollar, combinar términos y dividir por 4 deja x + x - 4 = 0. La fórmula cuadrática muestra raíces cercanas a x = 3/2 y x = -5/2. (Estos difieren en aproximadamente 0,06 de los valores exactos, pero nuestro gráfico no será lo suficientemente preciso como para preocuparse por ese nivel de detalle. Elegir una aproximación racional decente facilita el siguiente paso).

7. 

   Encuentre los valores de y de cada extremo local. Inserta los valores de x del paso anterior en la función racional original para encontrar los valores de y correspondientes. En el ejemplo, f(3/2) = 1/16 y f(-5/2) = -65/16. Suma estos puntos, (3/2, 1/16) y (-5/2, -65/16), a la gráfica. Como hicimos una aproximación en el paso anterior, estos no son los mínimos y máximos exactos, pero probablemente estén cerca. (Sabemos que (3/2, 1/16) está muy cerca del mínimo local. Del paso 3, sabemos que y siempre es positivo cuando x > -1/2 y encontramos un valor tan pequeño como 1/16, así que al menos en este caso, el error probablemente sea menor que el grosor de la línea).

8. 

   Conecte los puntos y extienda suavemente la gráfica desde los puntos conocidos hasta las asíntotas, teniendo cuidado de acercarse a ellas desde la dirección correcta. Tenga cuidado de no cruzar el eje x excepto en los puntos que ya se encontraron en el paso 3. No cruce la asíntota horizontal o lineal excepto en los puntos que ya se encontraron en el paso 5. No cambie de pendiente ascendente a pendiente descendente excepto en el extremo encontrado en el paso anterior.

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