Wie man eine rationale Funktion grafisch darstellt.

Eine rationale Funktion ist eine Gleichung der Form y = N(x)/D(x), wobei N und D Polynome sind. Der Versuch, ein genaues Diagramm von Hand zu zeichnen, kann eine umfassende Wiederholung vieler der wichtigsten Mathematikthemen der Oberstufe sein, von der Grundalgebra bis zur Differentialrechnung. Betrachten Sie das folgende Beispiel: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Schritte

1. 

   Finden Sie den Y-Achsenabschnitt. Setzen Sie einfach x = 0. Alles außer den konstanten Termen verschwindet und es bleibt y = 5/2. Wenn man dies als Koordinatenpaar ausdrückt, ist (0, 5/2) ein Punkt im Diagramm. Zeichnen Sie diesen Punkt grafisch auf.

2. 

   Finden Sie die horizontale Asymptote. Teilen Sie den Nenner durch den Zähler, um das Verhalten von y für große Absolutwerte von x zu bestimmen. In diesem Beispiel zeigt die Division, dass y = (1/2)x – (7/4) + 17/(8x + 4). Für große positive oder negative Werte von x geht 17/(8x + 4) gegen Null und der Graph nähert sich der Linie y = (1/2)x - (7/4) an. Zeichnen Sie diese Linie mithilfe einer gestrichelten oder leicht gezeichneten Linie grafisch auf.
   • Wenn der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, ist keine Division erforderlich und die Asymptote ist y = 0.
   • Wenn Grad(N) = Grad(D), ist die Asymptote eine horizontale Linie im Verhältnis der führenden Koeffizienten.
   • Wenn Grad(N) = Grad(D) + 1, ist die Asymptote eine Linie, deren Steigung das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist.
   • Wenn deg(N) > deg(D) + 1, dann geht y für große Werte von |x| als quadratisches, kubisches oder Polynom höheren Grades schnell in die positive oder negative Unendlichkeit. In diesem Fall lohnt es sich wahrscheinlich nicht, den Quotienten der Division genau grafisch darzustellen.

3. 

   Finden Sie die Nullen . Eine rationale Funktion hat eine Null, wenn ihr Zähler Null ist, also setze N(x) = 0. Im Beispiel ist 2x - 6x + 5 = 0. Die Diskriminante dieser Quadratzahl ist b - 4ac = 6 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Da die Diskriminante negativ ist, hat N(x) und folglich f(x) keine reellen Wurzeln. Der Graph kreuzt nie die x-Achse. Wenn Nullstellen gefunden wurden, fügen Sie diese Punkte zum Diagramm hinzu.

4. 

   Finden Sie die vertikalen Asymptoten . Eine vertikale Asymptote entsteht, wenn der Nenner Null ist. Die Einstellung 4x + 2 = 0 ergibt die vertikale Linie x = -1/2. Zeichnen Sie jede vertikale Asymptote mit einer hellen oder gestrichelten Linie grafisch dar. Wenn ein Wert von x sowohl N(x) = 0 als auch D(x) = 0 ergibt, kann es dort eine vertikale Asymptote geben oder auch nicht. Das kommt selten vor, aber lesen Sie sich die Tipps zum Umgang damit durch, wenn es auftritt.

5. 

   Schauen Sie sich den Rest der Division in Schritt 2 an. Wann ist er positiv, negativ oder Null? Im Beispiel ist der Zähler des Restes 17, was immer positiv ist. Der Nenner 4x + 2 ist rechts von der vertikalen Asymptote positiv und links negativ. Dies bedeutet, dass sich der Graph der linearen Asymptote von oben für große positive Werte von x und von unten für große negative Werte von x annähert. Da 17/(8x + 4) niemals Null sein kann, schneidet dieser Graph niemals die Linie y = (1/2)x - (7/4). Fügen Sie der Grafik jetzt nichts hinzu, aber notieren Sie sich diese Schlussfolgerungen für später.

6. 

   Finden Sie die lokalen Extrema. Ein lokales Extremum kann immer dann auftreten, wenn N'(x)D(x)-N(x)D'(x) = 0. Im Beispiel ist N'(x) = 4x - 6 und D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Erweitern, Kombinieren von Termen und Dividieren durch 4 ergibt x + x - 4 = 0. Die quadratische Formel zeigt Wurzeln in der Nähe von x = 3/2 und x = -5/2. (Diese weichen um etwa 0,06 von den genauen Werten ab, aber unser Diagramm wird nicht präzise genug sein, um sich über diesen Detaillierungsgrad Gedanken zu machen. Die Wahl einer angemessenen rationalen Näherung erleichtert den nächsten Schritt.)

7. 

   Finden Sie die y-Werte jedes lokalen Extremums. Setzen Sie die x-Werte aus dem vorherigen Schritt wieder in die ursprüngliche rationale Funktion ein, um die entsprechenden y-Werte zu ermitteln. Im Beispiel ist f(3/2) = 1/16 und f(-5/2) = -65/16. Fügen Sie diese Punkte (3/2, 1/16) und (-5/2, -65/16) zum Diagramm hinzu. Da wir im vorherigen Schritt eine Annäherung vorgenommen haben, handelt es sich hierbei nicht um die genauen Minima und Maxima, sie liegen aber wahrscheinlich nahe beieinander. (Wir wissen, dass (3/2, 1/16) sehr nahe am lokalen Minimum liegt. Aus Schritt 3 wissen wir, dass y immer positiv ist, wenn x > -1/2, und wir haben einen Wert von nur 1/16 gefunden. Zumindest in diesem Fall ist der Fehler also wahrscheinlich geringer als die Dicke der Linie.)

8. 

   Verbinden Sie die Punkte und erweitern Sie den Graphen sanft von den bekannten Punkten zu den Asymptoten. Achten Sie dabei darauf, sich ihnen aus der richtigen Richtung zu nähern. Achten Sie darauf, die x-Achse nicht zu kreuzen, außer an den Punkten, die bereits in Schritt 3 gefunden wurden. Überqueren Sie die horizontale oder lineare Asymptote nicht, außer an den Punkten, die bereits in Schritt 5 gefunden wurden. Wechseln Sie nicht von der Aufwärtsneigung zur Abwärtsneigung, außer bei das im vorherigen Schritt gefundene Extrem.

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