Bir Parabolün Grafiği Nasıl Çizilir.

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir ve düzgün "U" şeklinde bir eğridir. Paraboller aynı zamanda simetriktir, yani katlama çizgisinin bir tarafındaki tüm noktalar, katlama çizgisinin diğer tarafındaki karşılık gelen noktalarla çakışacak şekilde bir çizgi boyunca katlanabilirler. Simetri ekseni adı verilen katlama çizgisi tepe noktasından geçen dikey çizgidir. Parabol üzerindeki herhangi bir nokta, sabit bir noktadan (odak) ve sabit bir düz çizgiden (doğrultman) eşit uzaklıktadır. Bir parabolün grafiğini çizmek için, noktaların kat ettiği yolu işaretlemek amacıyla tepe noktasını ve tepe noktasının her iki tarafındaki birkaç noktayı bulmanız gerekir.

Adımlar

Bölüm 1

Bir Parabolün Grafiğinin Çizilmesi

1. 

   Bir parabolün parçalarını anlayın. Başlamadan önce size belirli bilgiler verilebilir ve terminolojiyi bilmek gereksiz adımlardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır. Parabolün bilmeniz gereken kısımları şunlardır:
   • Odak. Eğrinin resmi tanımı için kullanılan, parabolün iç kısmındaki sabit bir nokta.
   • Direktör. Sabit, düz bir çizgi. Parabol, herhangi bir noktanın odağa ve doğrultmana eşit uzaklıkta olduğu noktaların yeridir (serisidir). (Yukarıdaki şemaya bakın.)
   • Simetri ekseni. Bu, parabolün dönüm noktasından ("tepe noktası") geçen ve parabolün iki kolundaki karşılık gelen noktalardan eşit uzaklıkta olan düz bir çizgidir.
   • Tepe noktası. Simetri ekseninin parabolle kesiştiği noktaya parabolün tepe noktası denir. Parabol yukarıya veya sağa doğru açılıyorsa tepe noktası eğrinin minimum noktasıdır. Aşağıya veya sola doğru açılıyorsa tepe noktası maksimum noktadır.

2. 

   Parabol denklemini bilin. Bir parabolün genel denklemi y = ax+ bx + c'dir. Daha da genel bir formda da yazılabilir: y = a(x – h)² + k, ama biz burada denklemin ilk formuna odaklanacağız.
   • Denklemdeki a katsayısı pozitifse, parabol "U" harfi gibi yukarıya doğru (dikey yönelimli bir parabolde) açılır ve tepe noktası minimum bir noktadır. Eğer a negatifse, parabol aşağıya doğru açılır ve maksimum noktasında bir tepe noktasına sahiptir. Bunu hatırlamakta zorlanıyorsanız şu şekilde düşünün: Pozitif a değerine sahip bir denklem gülümsemeye benzer; negatif a değerine sahip bir denklem kaşlarını çatmaya benzer.
   • Diyelim ki şu denkleme sahipsiniz: y = 2x -1. A değeri (2) pozitif olduğundan bu parabol "U" şeklinde olacaktır.
   • Denklemin kare x terimi yerine kare y terimi varsa, parabol yatay olarak yönlendirilecek ve "C" veya geriye doğru "C" gibi yanlara, sağa veya sola açılacaktır. Örneğin, y = x + 3 parabolü "C" gibi sağa doğru açılır.

3. 

   Simetri eksenini bulun. Simetri ekseninin parabolün dönüm noktasından (tepe noktasından) geçen düz çizgi olduğunu unutmayın. Dikey bir parabol durumunda (yukarı veya aşağı doğru açılma), eksen, simetri ekseninin parabolle kesiştiği noktanın x değeri olan tepe noktasının x koordinatıyla aynıdır. Simetri eksenini bulmak için şu formülü kullanın: x = -b/2a.
   • Yukarıdaki örnekte (y = 2x² -1), a = 2 ve b = 0. Şimdi sayıları yerine koyarak simetri eksenini hesaplayabilirsiniz: x = -0 / (2)(2) = 0.
   • Bu durumda simetri ekseni x = 0'dır (koordinat düzleminin y eksenidir).

4. 

   Tepe noktasını bulun. Simetri eksenini öğrendikten sonra, y koordinatını elde etmek için bu değeri x'in yerine koyabilirsiniz. Bu iki koordinat size parabolün tepe noktasını verecektir. Bu durumda, y koordinatını elde etmek için 0'ı 2x -1'e yerleştirirsiniz. y = 2 x 0 -1 = 0 -1 = -1. Tepe noktası (0,-1)'dir ve parabol y eksenini -1'de keser.
   • Tepe noktasının koordinatları bazen (h, k) olarak bilinir. Bu durumda h 0 ve k -1'dir. Parabolün denklemi y = a(x – h)² + k biçiminde yazılabilir. Bu formda köşe noktası (h, k) noktasıdır ve köşeyi bulmak için grafiği doğru yorumlamanın ötesinde herhangi bir matematik işlemi yapmanıza gerek yoktur.

5. 

   Seçilen x değerlerine sahip bir tablo oluşturun. İlk sütunda belirli x değerlerine sahip bir tablo oluşturun. Bu tablo size denklemin grafiğini çizmeniz için gereken koordinatları verecektir.
   • "Dikey" bir parabol durumunda x'in orta değeri simetri ekseni olmalıdır.
   • Simetri açısından tabloda x'in orta değerinin üstünde ve altında en az iki değere yer vermelisiniz.
   • Bu örnekte simetri ekseninin değerini (x = 0) tablonun ortasına koyun.

6. 

   Karşılık gelen y koordinatlarının değerlerini hesaplayın. Her x değerini parabol denkleminde yerine koyun ve karşılık gelen y değerlerini hesaplayın. Hesaplanan bu y değerlerini tabloya ekleyin. Bu örnekte y'nin değerleri şu şekilde hesaplanır:
   • x = -2 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (-2) - 1 = 8 - 1 = 7
   • x = -1 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (-1) - 1 = 2 - 1 = 1
   • x = 0 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (0) - 1 = 0 - 1 = -1
   • x = 1 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (1) - 1 = 2 - 1 = 1
   • x = 2 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (2) - 1 = 8 - 1 = 7

7. 

   Y'nin hesaplanan değerlerini tabloya ekleyin. Artık parabol için en az beş koordinat çifti bulduğunuza göre, grafiğini çizmeye neredeyse hazırsınız. Çalışmanıza göre artık şu puanlara sahipsiniz: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Parabolün simetri eksenine göre yansıtıldığını (simetrik) unutmayın. Bu, simetri ekseninin karşısındaki noktaların y koordinatlarının aynı olacağı anlamına gelir. -2 ve +2 x koordinatlarının y koordinatlarının her ikisi de 7'dir; x koordinatları -1 ve +1 için y koordinatlarının her ikisi de 1'dir vb.

8. 

   Tablo noktalarını koordinat düzlemine çizin. Tablonun her satırı koordinat düzleminde bir (x, y) koordinat çifti oluşturur. Tabloda verilen koordinatları kullanarak tüm noktaların grafiğini çizin.
   • X ekseni yataydır; y ekseni dikeydir.
   • Y eksenindeki pozitif sayılar (0, 0) noktasının üzerinde, y eksenindeki negatif sayılar ise (0, 0) noktasının altındadır.
   • X eksenindeki pozitif sayılar (0, 0) noktasının sağında, x eksenindeki negatif sayılar ise (0, 0) noktasının solundadır.

9. 

   Noktaları bağlayın. Parabolün grafiğini çizmek için önceki adımda çizilen noktaları birleştirin. Bu örnekteki grafik U'ya benzeyecektir. Noktaları, düz yerine hafif kavisli çizgiler kullanarak bağlayın. Bu, parabolün (uzunluğu boyunca en azından hafifçe kavisli olan) en doğru görüntüsünü yaratacaktır. İsterseniz parabolün her iki ucuna tepe noktasından uzağa bakan oklar çizebilirsiniz. Bu parabolün sonsuza kadar devam ettiğini gösterecektir. UZMAN İPUCU

   Joseph Meyer

   Matematik Öğretmeni Joseph Meyer, Pittsburgh, Pensilvanya'da yaşayan bir Lise Matematik Öğretmenidir. 7 yılı aşkın süredir öğretmenlik yaptığı City Charter Lisesi'nde eğitimcidir. Joseph aynı zamanda öğrencilerin Cebirde başarılı olmalarına yardımcı olmaya adanmış çevrimiçi bir öğrenme topluluğu olan Sandbox Math'ın da kurucusudur. Sitesi, adım adım anlama yoluyla (sadece doğru son cevabı almak yerine) gerçek anlamayı teşvik etmeye, öğrencilerin yanlış anlamaları tespit edip bunların üstesinden gelmelerine ve karşılaştıkları herhangi bir testi güvenle geçmelerine olanak sağlamaya odaklanmasıyla diğerlerinden ayrılıyor. Fizik alanında yüksek lisansını Case Western Reserve Üniversitesi'nden, lisans derecesini de Baldwin Wallace Üniversitesi'nden almıştır. Joseph Meyer
   Matematik Öğretmeni

   Güçlü grafik becerileri geliştirin. Grafikleri elle çizmek, özellikle ölçekleri ve eksenleri anlama konusunda temel grafik becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olacaktır. Bu, karmaşık ilişkileri görselleştirmek, hesaplamalar yapmak ve standartlaştırılmış testlere hazırlanmak için yararlı çevrimiçi araçları kullanmanız için güçlü bir temel oluşturacaktır.

Bölüm 2

Bir Parabolün Grafiğinin Kaydırılması

Bir parabolün tepe noktasını tekrar bulmadan ve üzerinde birkaç noktayı yeniden çizmeden kaydırmak için bir kısayol istiyorsanız, bir parabolün denklemini nasıl okuyacağınızı anlamanız ve onu dikey veya yatay olarak kaydırmayı öğrenmeniz gerekir. Temel parabolle başlayın: y = x. Bunun tepe noktası (0, 0)'dadır ve yukarı doğru açılır. Üzerindeki noktalar (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) ve (2, 4)'tür. Bir parabolü denklemine göre kaydırabilirsiniz.

1. 

   Bir parabolün yukarıya kaydırılması. y = x +1 denklemini düşünün. Bu, orijinal parabolü 1 birim yukarı kaydırır. Tepe noktası artık (0, 0) yerine (0, 1)'dir. Orijinal parabolün tam şeklini koruyacaktır ancak her y koordinatı 1 birim yukarı kaydırılacaktır. Yani (-1, 1) ve (1, 1) yerine (-1, 2) ve (1, 2)'yi çiziyoruz.

2. 

   Bir parabolün aşağıya doğru kaydırılması. y = x -1 denklemini alın. Orijinal parabolü 1 birim aşağı kaydırıyoruz, böylece tepe noktası artık (0, 0) yerine (0, -1) olur. Hala orijinal parabolün şekline sahip olacak, ancak her y koordinatı 1 birim aşağı kaydırılacak. Yani örneğin (-1, 1) ve (1, 1) yerine (-1, 0) ve (1, 0)'ı çizeriz.

3. 

   Bir parabolü sola kaydırın. y = (x + 1) denklemini düşünün. Bu, orijinal parabolü bir birim sola kaydırır. Tepe noktası artık (0, 0) yerine (-1, 0)'dır. Orijinal parabolün şeklini korur, ancak her x koordinatı bir birim sola kaydırılır. Örneğin (-1, 1) ve (1, 1) yerine (-2, 1) ve (0, 1)'i çizeriz.

4. 

   Bir parabolün sağa kaydırılması. y = (x - 1) denklemini düşünün. Bu, bir birim sağa kaydırılan orijinal paraboldür. Tepe noktası artık (0, 0) yerine (1, 0)'dır. Orijinal parabolün şeklini korur, ancak her x koordinatı bir birim sağa kaydırılacaktır. Örneğin (-1, 1) ve (1, 1) yerine (0, 1) ve (2, 1)'i çizeriz.

Video