İkinci Dereceden Bir Denklemin Grafiği Nasıl Çizilir.

ax + bx + c veya a(x - h) + k biçimindeki ikinci dereceden denklemler grafikle çizildiğinde, parabol adı verilen düzgün U şeklinde veya ters U şeklinde bir eğri verir. İkinci dereceden bir denklemin grafiğini çizmek, onun tepe noktasını bulma meselesidir , yön ve sıklıkla x ve y kesişimleri. Nispeten basit ikinci dereceden denklemler durumunda, bir dizi x değerini yerine koymak ve ortaya çıkan noktalara dayalı bir eğri çizmek de yeterli olabilir. Başlamak için aşağıdaki 1. Adıma bakın.

Adımlar

1. 

   İkinci dereceden denklemin hangi formuna sahip olduğunuzu belirleyin. İkinci dereceden denklem üç farklı biçimde yazılabilir: standart form, köşe formu ve ikinci dereceden form. İkinci dereceden bir denklemin grafiğini çizmek için her iki formu da kullanabilirsiniz; her birinin grafiğini çizme süreci biraz farklıdır. Eğer bir ev ödevi problemi çözüyorsanız, problemi genellikle bu iki biçimden birinde alırsınız; diğer bir deyişle, seçim yapamazsınız, bu yüzden en iyisi ikisini de anlamaktır. İkinci dereceden denklemin iki biçimi şunlardır:
   • Standart biçim. Bu formda ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: f(x) = ax + bx + c burada a, b ve c gerçel sayılardır ve a sıfıra eşit değildir.
     • Örneğin, iki standart biçimli ikinci dereceden denklem f(x) = x + 2x + 1 ve f(x) = 9x + 10x -8'dir.
   • Köşe formu. Bu formda ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: f(x) = a(x - h) + k burada a, h ve k gerçek sayılardır ve a sıfıra eşit değildir. Tepe noktası formu böyle adlandırılmıştır çünkü h ve k doğrudan parabolünüzün (h,k) noktasındaki tepe noktasını (merkez noktasını) verir.
     • İki köşe formu denklemi f(x) = 9(x - 4) + 18 ve -3(x - 5) + 1'dir
   • Bu tür denklemlerden herhangi birinin grafiğini çizmek için öncelikle eğrinin "ucundaki" merkezi nokta (h,k) olan parabolün tepe noktasını bulmamız gerekir. Tepe noktasının standart formdaki koordinatları şu şekilde verilir: h = -b/2a ve k = f(h), köşe formunda ise h ve k denklemde belirtilir.

2. 

   Değişkenlerinizi tanımlayın. İkinci dereceden bir problemi çözebilmek için genellikle a, b ve c (veya a, h ve k) değişkenlerinin tanımlanması gerekir. Ortalama bir cebir problemi size değişkenlerin doldurulduğu ikinci dereceden bir denklem verecektir; genellikle standart formda, ancak bazen tepe noktasında.
   • Örneğin, f(x) = 2x +16x + 39 standart form denklemi için a = 2, b = 16 ve c = 39 elde ederiz.
   • Köşe formu denklemi f(x) = 4(x - 5) + 12 için a = 4, h = 5 ve k = 12 elde ederiz.

3. 

   h'yi hesaplayın. Köşe biçimli denklemlerde h değeriniz zaten verilmiştir, ancak standart biçimli denklemlerde bunun hesaplanması gerekir. Standart formdaki denklemler için h = -b/2a olduğunu unutmayın.
   • Standart form örneğimizde (f(x) = 2x +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Çözerek h = -4 olduğunu buluruz .
   • Köşe formu örneğimizde (f(x) = 4(x - 5) + 12), herhangi bir matematik işlemi yapmadan h = 5 olduğunu biliyoruz.

4. 

   k'yı hesaplayın. H'de olduğu gibi k da köşe formu denklemlerinde zaten bilinmektedir. Standart formdaki denklemler için k = f(h) olduğunu unutmayın. Başka bir deyişle, denkleminizdeki her x örneğini h için bulduğunuz değerle değiştirerek k'yi bulabilirsiniz.
   • Standart form örneğimizde h = -4 olduğunu belirledik. K'yı bulmak için denklemimizi x'in yerine h değerini koyarak çözeriz:
     • k = 2(-4) + 16(-4) + 39.
     • k = 2(16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Köşe formu örneğimizde yine herhangi bir matematik işlemine gerek kalmadan k'nin değerini (ki bu 12'dir) biliyoruz.

5. 

   Tepe noktanızı çizin. Parabolünüzün tepe noktası (h, k) noktası olacaktır - h x koordinatını, k ise y koordinatını belirtir. Tepe noktası parabolünüzün merkezi noktasıdır; ya bir "U"nun en alt kısmı, ya da baş aşağı bir "U"nun en üst noktası. Tepe noktasını bilmek, doğru bir parabolün grafiğini çizmenin önemli bir parçasıdır; genellikle okul çalışmalarında tepe noktasını belirlemek bir sorunun zorunlu bir parçası olacaktır.
   • Standart form örneğimizde köşe noktamız (-4,7) olacaktır. Yani parabolümüz 0'ın solunda 4 boşluk ve (0,0) üstünde 7 boşluk olacak. Koordinatları etiketlediğimizden emin olarak bu noktayı grafiğimizde çizmeliyiz.
   • Köşe formu örneğimizde köşe noktamız (5,12)'dir. Sağa 5 boşluk ve yukarıya 12 boşluk (0,0) noktası çizmeliyiz.
   UZMAN İPUCU

   Joseph Meyer

   Matematik Öğretmeni Joseph Meyer, Pittsburgh, Pensilvanya'da yaşayan bir Lise Matematik Öğretmenidir. 7 yılı aşkın süredir öğretmenlik yaptığı City Charter Lisesi'nde eğitimcidir. Joseph aynı zamanda öğrencilerin Cebirde başarılı olmalarına yardımcı olmaya adanmış çevrimiçi bir öğrenme topluluğu olan Sandbox Math'ın da kurucusudur. Sitesi, adım adım anlama yoluyla (sadece doğru son cevabı almak yerine) gerçek anlamayı teşvik etmeye, öğrencilerin yanlış anlamaları tespit edip bunların üstesinden gelmelerine ve karşılaştıkları herhangi bir testi güvenle geçmelerine olanak sağlamaya odaklanmasıyla diğerlerinden ayrılıyor. Fizik alanında yüksek lisansını Case Western Reserve Üniversitesi'nden, lisans derecesini de Baldwin Wallace Üniversitesi'nden almıştır. Joseph Meyer
   Matematik Öğretmeni

   Güçlü grafik becerileri geliştirin. Grafikleri elle çizmek, özellikle ölçekleri ve eksenleri anlama konusunda temel grafik becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olacaktır. Bu, karmaşık ilişkileri görselleştirmek, hesaplamalar yapmak ve standartlaştırılmış testlere hazırlanmak için yararlı çevrimiçi araçları kullanmanız için güçlü bir temel oluşturacaktır.

6. 

   Parabolün eksenini çizin (isteğe bağlı). Bir parabolün simetri ekseni, ortasından geçen ve onu tam olarak ikiye bölen çizgidir. Bu eksen boyunca parabolün sol tarafı sağ tarafını yansıtacaktır. ax + bx + c veya a(x - h) + k biçimindeki ikinci dereceden denklemler için eksen, y eksenine paralel (başka bir deyişle tamamen dikey) ve tepe noktasından geçen bir çizgidir.
   • Standart form örneğimizde eksen, y eksenine paralel ve (-4, 7) noktasından geçen bir çizgidir. Parabolün kendisinin bir parçası olmasa da, bu çizgiyi grafiğinizde hafifçe işaretlemek sonunda parabolün simetrik olarak nasıl kıvrıldığını görmenize yardımcı olabilir.

7. 

   Açılma yönünü bulun. Parabolün tepe noktasını ve eksenini bulduktan sonra parabolün yukarıya mı yoksa aşağıya mı açıldığını bilmemiz gerekiyor. Neyse ki bu kolaydır. "a" pozitif ise parabol yukarıya doğru, "a" negatif ise parabol aşağıya doğru açılacaktır (yani ters dönecektir).
   • Standart form örneğimiz için (f(x) = 2x +16x + 39), yukarıya doğru açılan bir parabolümüz olduğunu biliyoruz çünkü denklemimizde a = 2 (pozitif).
   • Köşe formu örneğimiz için (f(x) = 4(x - 5) + 12), a = 4 (pozitif) olduğundan yukarıya doğru açılan bir parabolümüz olduğunu da biliyoruz.

8. 

   Gerekirse x kesişim noktalarını bulun ve çizin. Çoğu zaman, okul ödevlerinde sizden bir parabolün x-kesme noktalarını (parabolün x ekseniyle buluştuğu bir veya iki nokta) bulmanız istenecektir. Onları bulamasanız bile bu iki nokta doğru bir parabol çizmek için çok değerli olabilir. Ancak tüm parabollerin x kesim noktaları yoktur. Eğer parabolünüzün tepe noktası yukarıya doğru açılıyorsa ve tepe noktası x ekseninin üzerindeyse veya aşağı doğru açılıyorsa ve tepe noktası x ekseninin altındaysa, herhangi bir x kesişimi olmayacaktır . Aksi takdirde, x kesişimlerinizi aşağıdaki yöntemlerden biriyle çözün:
   • Basitçe f(x) = 0 olarak ayarlayın ve denklemi çözün. Bu yöntem, özellikle köşe biçimindeki basit ikinci dereceden denklemler için işe yarayabilir, ancak daha karmaşık olanlar için son derece zor olacaktır. Örnek için aşağıya bakın
     • f(x) = 4(x - 12) - 4
     • 0 = 4(x - 12) - 4
     • 4 = 4(x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • Karekare(1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 ve 13 parabolün x kesim noktalarıdır.
   • Denkleminizi çarpanlarına ayırın. ax + bx + c formundaki bazı denklemler kolayca (dx + e)(fx +g) formuna ayrılabilir; burada dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx ve e × g = c. Bu durumda, x kesişimleriniz, parantez içindeki terimlerin ikisini de = 0 yapan x değerleridir. Örneğin:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1)(x + 1)
     • Bu durumda, tek x kesim noktanız -1'dir çünkü x'i -1'e eşitlemek parantez içindeki çarpanlara ayrılmış terimlerden herhangi birini 0'a eşitleyecektir.
   • İkinci dereceden formülü kullanın. X kesişme noktalarınızı kolayca çözemiyorsanız veya denkleminizi çarpanlarına ayıramıyorsanız, bu amaç için tasarlanmış ikinci dereceden formül adı verilen özel bir denklem kullanın. Zaten değilse, denkleminizi ax + bx + c biçimine getirin, ardından a, b ve c'yi x = (-b +/- SqRt(b - 4ac))/2a formülüne yerleştirin. Bunun genellikle x için iki cevap verdiğini unutmayın; bu normaldir; bu sadece parabolünüzün iki x kesişim noktasına sahip olduğu anlamına gelir. Örnek için aşağıya bakın:
     • -5x + 1x + 10 ikinci dereceden formüle şu şekilde bağlanır:
     • x = (-1 +/- SqRt(1 - 4(-5)(10)))/2(-5)
     • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
     • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
     • x = (-1 +/- 14,18)/-10
     • x = (13,18/-10) ve (-15,18/-10). Parabolün x kesimleri yaklaşık olarak x = -1,318 ve 1,518'dedir
     • Önceki standart form örneğimiz olan 2x + 16x + 39 ikinci dereceden formüle şu şekilde bağlanır:
     • x = (-16 +/- SqRt(16 - 4(2)(39)))/2(2)
     • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
     • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
     • Negatif bir sayının karekökünü bulmak imkansız olduğundan, bu özel parabol için hiçbir x kesim noktasının mevcut olmadığını biliyoruz.

9. 

   Gerekirse y kesim noktasını bulun ve çizin. Bir denklemin y kesim noktasını (parabolün y ekseninden geçtiği nokta) bulmak çoğu zaman gerekli olmasa da, özellikle okuldaysanız, sonunda bulmanız gerekebilir. Bu işlem oldukça kolaydır - sadece x = 0'ı ayarlayın, ardından f(x) veya y için denkleminizi çözün; bu size parabolünüzün y ekseninden geçtiği y değerini verir. X kesişme noktalarından farklı olarak, standart parabollerin yalnızca bir y kesişme noktası olabilir. Not - standart formdaki denklemler için y kesişimi y = c'dedir.
   • Örneğin, ikinci dereceden denklemimiz olan 2x + 16x + 39'un y = 39'da ay kesme noktasına sahip olduğunu biliyoruz, ancak şu şekilde de bulunabilir:
     • f(x) = 2x + 16x + 39
     • f(x) = 2(0) + 16(0) + 39
     • f(x) = 39. Parabolün y kesişimi y = 39'dadır. Yukarıda belirtildiği gibi y kesişimi y = c'dedir.
   • Köşe formu denklemimiz 4(x - 5) + 12'nin bir kesişme noktası var ve bu şu şekilde bulunabilir:
     • f(x) = 4(x - 5) + 12
     • f(x) = 4(0 - 5) + 12
     • f(x) = 4(-5) + 12
     • f(x) = 4(25) + 12
     • f(x) = 112. Parabolün y kesim noktası y = 112'dedir.

10. 

    Gerekirse ek noktaları çizin ve ardından grafiğini çizin. Artık denkleminiz için bir tepe noktası, yön, x kesim noktası(ları) ve muhtemelen ay kesim noktası olmalıdır. Bu noktada, kılavuz olarak sahip olduğunuz noktaları kullanarak parabolünüzü çizmeye çalışabilir veya çizdiğiniz eğrinin daha doğru olması için parabolünüzü "doldurmak" için daha fazla nokta bulabilirsiniz. Bunu yapmanın en kolay yolu, tepe noktanızın her iki tarafına da birkaç x değeri yerleştirmek ve ardından elde ettiğiniz y değerlerini kullanarak bu noktaları çizmek. Çoğu zaman öğretmenler parabolünüzü çizmeden önce belirli sayıda puan almanızı ister.
    • x + 2x + 1 denklemine tekrar bakalım. Onun tek x kesim noktasının x = -1'de olduğunu zaten biliyoruz. X kesişim noktasına yalnızca bir noktada dokunduğu için, tepe noktasının x kesişim noktası olduğu sonucunu çıkarabiliriz, bu da köşe noktasının (-1,0) olduğu anlamına gelir. Bu parabol için elimizde yalnızca bir nokta var; iyi bir parabol çizmeye yetecek kadar değil. Doğru bir grafik çizdiğimizden emin olmak için birkaç tane daha bulalım.
      • Şu x değerleri için y değerlerini bulalım: 0, 1, -2 ve -3.
      • 0 için: f(x) = (0) + 2(0) + 1 = 1. Noktamız (0,1)'dir.
      • 1 için: f(x) = (1) + 2(1) + 1 = 4. Noktamız (1,4)'tür.
      • -2 için: f(x) = (-2) + 2(-2) + 1 = 1. Bizim noktamız (-2,1).
      • -3 için: f(x) = (-3) + 2(-3) + 1 = 4. Bizim noktamız (-3,4).
      • Bu noktaları grafiğe çizin ve U şeklindeki eğrinizi çizin. Parabolün tamamen simetrik olduğuna dikkat edin; parabolün bir tarafındaki noktalarınız tam sayılar üzerinde olduğunda, diğer tarafta karşılık gelen noktayı bulmak için parabolün simetri ekseni boyunca belirli bir noktayı yansıtarak genellikle kendinize biraz iş kazandırabilirsiniz. parabolün.

Video