Rasyonel Bir Fonksiyonun Dikey Asimptotları Nasıl Bulunur?.

Dikey asimptotları bulmak ve grafiğini çizmek için basit bir kılavuz

Rasyonel bir fonksiyon, iki polinom arasındaki oranı içeren matematiksel bir fonksiyondur (denklem). Yani, katsayılardan daha fazlasını içeren bir kesir biçiminin olması gerekir. Dolayısıyla y = 1/2 x + 2 {displaystyle y=1/2x+2} rasyonel bir fonksiyon değildir çünkü tek kesir bir katsayı terimidir. Ancak y = 3 x − 1 x 2 + 2 x + 1 {displaystyle y={frac {3x-1}{x^{2}+2x+1}}} rasyonel bir fonksiyondur. Dikey asimptot, denklemin çözümü olmayan ancak çözüm grafiğinin tanımlanmasına yardımcı olan değerlerin temsilidir.

Adımlar

Bölüm 1

Dikey Asimptotları Bulma

1. 

   Fonksiyonun paydasını çarpanlarına ayırın. Fonksiyonu basitleştirmek için paydayı mümkün olduğunca faktörlere ayırmanız gerekir. Asimptotları bulmak amacıyla çoğunlukla payı göz ardı edebilirsiniz.
   • Örneğin, x − 2 5 x 2 + 5 x {displaystyle {frac {x-2}{5x^{2}+5x}}} fonksiyonuyla başladığınızı varsayalım . 5 x 2 + 5 x {displaystyle 5x^{2}+5x} paydası, ( 5 x ) ( x + 1 ) {displaystyle (5x)(x+1)} iki terime dahil edilebilir .
   • Başka bir örnek olarak, y = 3 x + 1 x 2 + 2 x + 1 {displaystyle y={frac {3x+1}{x^{2}+2x+1}}} fonksiyonunu düşünün . Paydayı, ( x + 1 ) ( x + 1 ) {displaystyle (x+1)(x+1)} şeklinde çarpanlara ayrılabilecek basit ikinci dereceden bir fonksiyon olarak tanımalısınız .
   • Bazı payda fonksiyonlarının çarpanlarına ayrılamayacağını unutmayın. Örneğin, y = x 2 − 2 x 2 + 3 x − 1 {displaystyle y={frac {x^{2}-2}{x^{2}+3x-1}}} denkleminde fonksiyon paydada x 2 + 3 x − 1 {displaystyle x^{2}+3x-1} çarpanlara ayrılamaz. Bu ilk adım için onu bu formda bırakmanız yeterli olacaktır.
   • Fonksiyonların çarpanlarına ayrılması konusunu gözden geçirmeniz gerekiyorsa, Faktör Cebirsel Denklemler veya Çarpan İkinci Derece Polinomlar (İkinci Dereceden Denklemler) makalelerine göz atın.

2. 

   Paydanın 0'a eşit olduğu değerleri bulun. Fonksiyonun payını yine de göz ardı ederek, çarpanlara ayrılmış paydayı 0'a eşitleyin ve x'i çözün. Faktörlerin çoğalan terimler olduğunu ve son olarak 0 değerini elde etmek için herhangi bir faktörü 0'a eşitlemenin sorunu çözeceğini unutmayın. Mevcut faktörlerin sayısına bağlı olarak bir veya daha fazla çözüm bulabilirsiniz.
   • Örneğin, bir payda işlevi ( 5 x ) ( x + 1 ) {displaystyle (5x)(x+1)} olarak çarpanlara ayrılırsa , bunu ( 5 x ) ( x + 1 ) = 0 olarak 0'a eşitlersiniz {görüntüleme stili (5x)(x+1)=0} . Çözümler, bunu doğru kılan herhangi bir x değeri olacaktır. Bu değerleri bulmak için, her bir faktörü 0'a eşitleyerek 5 x = 0 {displaystyle 5x=0} ve x + 1 = 0 {displaystyle x+1=0} şeklinde iki mini problem oluşturun . İlk çözüm x = 0 {displaystyle x=0} ve ikincisi x = − 1 {displaystyle x=-1}'dir .
   • Paydası x 2 + 5 x + 6 {displaystyle x^{2}+5x+6} olan başka bir örnek verildiğinde , bu, ( x + 3 ) ( x + 2 ) {displaystyle (x+) iki terime dahil edilebilir 3)(x+2)} . Her faktörün 0'a eşitlenmesi x + 3 = 0 {displaystyle x+3=0} ve x + 2 = 0 {displaystyle x+2=0} sonucunu doğurur . Dolayısıyla bu problemin çözümleri x = − 3 {displaystyle x=-3} ve x = − 2 {displaystyle x=-2} olacaktır .

3. 

   Çözümlerin anlamını anlayın. Bu noktaya kadar yaptığınız çalışma, fonksiyonun paydasının 0'a eşit olduğu x değerlerini tanımlar. Rasyonel bir fonksiyonun, payın değerinin paydanın değerine bölünmesiyle elde edilen gerçekten büyük bir bölme problemi olduğunu kabul edin. 0'a bölmek tanımsız olduğundan, paydası 0'a eşit olan herhangi bir x değeri, tam fonksiyon için dikey bir asimptotu temsil eder.

Bölüm 2

Dikey Asimptotların Grafiğinin Çizilmesi

1. 

   Bir grafiğin anlamını gözden geçirin. Bir fonksiyonun grafiği, belirli bir denklemin çözümü olan x ve y değerlerinin görsel bir temsilidir. Grafik tek tek noktalardan, düz bir çizgiden, eğri bir çizgiden ve hatta daire veya elips gibi bazı kapalı şekillerden oluşabilir. Doğru üzerinde bulunan herhangi bir nokta denklemin çözümü olabilir.
   • Örneğin, y = 2 x {displaystyle y=2x} gibi basit bir denklemin sonsuz çözümü olacaktır. (x,y) çiftleri halinde yazılan bazı olası çözümler (1,2), (2,4), (3,6) veya ikinci sayının birincinin iki katı olduğu herhangi bir sayı çiftidir. Bu noktaların x,y koordinat düzlemine çizilmesi, soldan sağa doğru çapraz olarak görünen sürekli bir düz çizgi gösterecektir. Bu tür grafiğin daha fazla örneğini görmek için Grafik Doğrusal Denklemleri incelemek isteyebilirsiniz.
   • İkinci dereceden bir denklemin grafiği, üssü 2 olan bir grafiktir; örneğin y = x 2 + 2 x − 1 {displaystyle y=x^{2}+2x-1} . Bazı örnek çözümler (-1,-2), (0,-1), (1,1), (2,7)'dir. Bu noktaları ve diğerlerini çizerseniz, U şeklinde bir eğri olan parabolün grafiğini bulacaksınız. Bu tür grafiği incelemek için İkinci Dereceden Bir Denklemin Grafiği konusuna bakabilirsiniz.
   • Fonksiyonların grafiğinin nasıl çizileceğini gözden geçirmek için daha fazla yardıma ihtiyacınız varsa, Bir Fonksiyonun Grafiği'ni veya Rasyonel Bir Fonksiyonun Grafiği'ni okuyun.

2. 

   Asimptotları tanıyın. Asimptot, genellikle bir fonksiyonun grafiği için bir tür sınır görevi gören düz bir çizgidir. Bir asimptot dikey, yatay veya herhangi bir açıda olabilir. Asimptot, denklemin çözümü olmayan ancak çözümlerin limiti olabilecek değerleri temsil eder.
   • Örneğin, y = 1 x {displaystyle y={frac {1}{x}}} denklemini düşünün . Eğer x=3 değerinden başlayıp bu denklem için bazı çözümler seçmek üzere geri sayım yaparsanız (3, 1/3), (2, 1/2) ve (1,1) çözümlerini elde edersiniz. Geriye doğru saymaya devam ederseniz, x'in bir sonraki değeri 0 olacaktır, ancak bu, y=1/0 kesirini oluşturacaktır. 0'a bölme tanımsız olduğundan bu, fonksiyonun çözümü olamaz. Dolayısıyla x=0 değeri bu denklem için dikey bir asimptottur.

3. 

   Dikey asimptotların grafiğini noktalı çizgiyle çizin. Geleneksel olarak, bir fonksiyonun çözümünü çizerken, eğer fonksiyonun dikey bir asimptotu varsa, o değerde noktalı bir çizgi çizerek grafiğini çizersiniz. y = 1 x {displaystyle y={frac {1}{x}}} örneğinde bu, x=0'da dikey bir noktalı çizgi olacaktır.

Video