Rasyonel Bir Fonksiyonun Grafiği Nasıl Çizilir.

Rasyonel bir fonksiyon, N ve D'nin polinom olduğu y = N(x)/D(x) formunu alan bir denklemdir. Elle bir grafiğin doğru bir grafiğini çizmeye çalışmak, temel cebirden diferansiyel hesaba kadar en önemli lise matematik konularının çoğunun kapsamlı bir şekilde gözden geçirilmesi olabilir. Şu örneği düşünün: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Adımlar

1. 

   Y kesişimini bulun. Basitçe x = 0 olarak ayarlayın. Sabit terimler dışında her şey kaybolur ve geriye y = 5/2 kalır. Bunu bir koordinat çifti olarak ifade eden (0, 5/2) grafikte bir noktadır. Bu noktanın grafiğini çizin.

2. 

   Yatay asimptotu bulun. X'in büyük mutlak değerleri için y'nin davranışını belirlemek amacıyla paydayı uzun süre paya bölün. Bu örnekte bölme işlemi y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4) olduğunu göstermektedir. X'in büyük pozitif veya negatif değerleri için, 17/(8x + 4) sıfıra yaklaşır ve grafik, y = (1/2)x - (7/4) doğrusuna yaklaşır. Kesikli veya hafif çizilmiş bir çizgi kullanarak bu çizginin grafiğini çizin.
   • Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse bölme işlemi yapılmaz ve asimptot y = 0 olur.
   • Derece(N) = derece(D) ise asimptot, baş katsayıların oranında yatay bir çizgidir.
   • Derece(N) = derece(D) + 1 ise asimptot, eğimi baş katsayıların oranı olan bir çizgidir.
   • Derece(N) > derece(D) + 1 ise, |x|'in büyük değerleri için y ikinci dereceden, kübik veya daha yüksek dereceli bir polinom olarak hızla pozitif veya negatif sonsuza gider. Bu durumda, bölümün bölümünün grafiğini doğru bir şekilde çizmek muhtemelen faydalı olmayacaktır.

3. 

   Sıfırları bulun . Rasyonel bir fonksiyonun payı sıfır olduğunda sıfır olur, dolayısıyla N(x) = 0 olsun. Örnekte, 2x - 6x + 5 = 0. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı b - 4ac = 6 - 4*2*5'tir. = 36 - 40 = -4. Diskriminant negatif olduğundan, N(x) ve dolayısıyla f(x)'in gerçek kökleri yoktur. Grafik hiçbir zaman x eksenini geçmez. Sıfır bulunursa bu noktaları grafiğe ekleyin.

4. 

   Dikey asimptotları bulun . Payda sıfır olduğunda dikey asimptot oluşur. 4x + 2 = 0'ın ayarlanması dikey çizgiyi x = -1/2 verir. Her dikey asimptotu açık veya kesikli bir çizgiyle çizin. Eğer x'in bir değeri hem N(x) = 0 hem de D(x) = 0 yapıyorsa, burada dikey bir asimptot olabilir veya olmayabilir. Bu nadir görülen bir durumdur, ancak meydana gelmesi durumunda bununla nasıl başa çıkılacağına ilişkin ipuçlarına bakın.

5. 

   2. adımdaki bölümün geri kalanına bakın. Ne zaman pozitif, negatif veya sıfır olur? Örnekte kalanın payı her zaman pozitif olan 17'dir. Payda, 4x + 2, dikey asimptotun sağında pozitif, solunda negatiftir. Bu, grafiğin doğrusal asimtota x'in büyük pozitif değerleri için yukarıdan, x'in büyük negatif değerleri için aşağıdan yaklaştığı anlamına gelir. 17/(8x + 4) hiçbir zaman sıfır olamayacağından bu grafik hiçbir zaman y = (1/2)x - (7/4) doğrusuyla kesişmez. Şimdilik grafiğe hiçbir şey eklemeyin, ancak bu sonuçları daha sonra kullanmak üzere not edin.

6. 

   Yerel ekstremumları bulun. N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0 olduğunda yerel bir ekstremum meydana gelebilir. Örnekte, N'(x) = 4x - 6 ve D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Terimleri genişletme, birleştirme ve bölme 4 yaprakla x + x - 4 = 0. İkinci dereceden formül, x = 3/2 ve x = -5/2 yakınındaki kökleri gösterir. (Bunlar kesin değerlerden yaklaşık 0,06 farklılık gösterir, ancak grafiğimiz bu düzeydeki ayrıntı hakkında endişelenecek kadar kesin olmayacaktır. Uygun bir rasyonel yaklaşım seçmek bir sonraki adımı kolaylaştırır.)

7. 

   Her yerel ekstremun y değerlerini bulun. Karşılık gelen y değerlerini bulmak için önceki adımdaki x değerlerini orijinal rasyonel fonksiyona geri takın. Örnekte f(3/2) = 1/16 ve f(-5/2) = -65/16. Bu noktaları (3/2, 1/16) ve (-5/2, -65/16) grafiğe ekleyin. Önceki adımda yaklaşık değerler belirlediğimiz için bunlar tam olarak minimum ve maksimum değerler değildir ancak muhtemelen yakındırlar. ((3/2, 1/16)'nın yerel minimuma çok yakın olduğunu biliyoruz. 3. adımdan itibaren, x > -1/2 olduğunda y'nin her zaman pozitif olduğunu biliyoruz ve 1/16 kadar küçük bir değer bulduk, yani en azından bu durumda hata muhtemelen çizginin kalınlığından daha azdır.)

8. 

   Noktaları birleştirin ve grafiği bilinen noktalardan asimptotlara doğru düzgün bir şekilde, onlara doğru yönden yaklaşmaya dikkat ederek uzatın. Adım 3'te bulunan noktalar dışında x eksenini geçmemeye dikkat edin. Adım 5'te bulunan noktalar dışında yatay veya doğrusal asimptotu geçmeyin. önceki adımda bulunan uç nokta.

Video