Como representar graficamente uma função racional.

Uma função racional é uma equação que assume a forma y = N(x)/D(x) onde N e D são polinômios. Tentar esboçar um gráfico preciso à mão pode ser uma revisão abrangente de muitos dos tópicos mais importantes de matemática do ensino médio, desde álgebra básica até cálculo diferencial. Considere o seguinte exemplo: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Passos

1. 

   Encontre a interceptação y. Simplesmente defina x = 0. Tudo, exceto os termos constantes, desaparece, deixando y = 5/2. Expressando isso como um par de coordenadas, (0, 5/2) é um ponto no gráfico. Faça um gráfico desse ponto.

2. 

   Encontre a assíntota horizontal. Divida longamente o denominador no numerador para determinar o comportamento de y para grandes valores absolutos de x. Neste exemplo, a divisão mostra que y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Para grandes valores positivos ou negativos de x, 17/(8x + 4) se aproxima de zero e o gráfico se aproxima da reta y = (1/2)x - (7/4). Usando uma linha tracejada ou levemente desenhada, represente graficamente esta linha.
   • Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, não há divisão a ser feita e a assíntota é y = 0.
   • Se deg(N) = deg(D), a assíntota é uma linha horizontal na proporção dos coeficientes iniciais.
   • Se deg(N) = deg(D) + 1, a assíntota é uma reta cuja inclinação é a razão dos coeficientes principais.
   • Se deg(N) > deg(D) + 1, então para valores grandes de |x|, y vai rapidamente para o infinito positivo ou negativo como um polinômio quadrático, cúbico ou de grau superior. Neste caso, provavelmente não vale a pena representar graficamente com precisão o quociente da divisão.

3. 

   Encontre os zeros . Uma função racional tem zero quando seu numerador é zero, então defina N(x) = 0. No exemplo, 2x - 6x + 5 = 0. O discriminante desta quadrática é b - 4ac = 6 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Como o discriminante é negativo, N(x), e consequentemente f(x), não tem raízes reais. O gráfico nunca cruza o eixo x. Se algum zero for encontrado, adicione esses pontos ao gráfico.

4. 

   Encontre as assíntotas verticais . Uma assíntota vertical ocorre quando o denominador é zero. Definir 4x + 2 = 0 fornece a linha vertical x = -1/2. Faça um gráfico de cada assíntota vertical com uma linha clara ou tracejada. Se algum valor de x fizer N(x) = 0 e D(x) = 0, pode ou não haver uma assíntota vertical ali. Isso é raro, mas veja dicas de como lidar caso ocorra.

5. 

   Observe o restante da divisão na etapa 2. Quando é positivo, negativo ou zero? No exemplo, o numerador do resto é 17, que é sempre positivo. O denominador, 4x + 2, é positivo à direita da assíntota vertical e negativo à esquerda. Isso significa que o gráfico se aproxima da assíntota linear acima para grandes valores positivos de x e abaixo para grandes valores negativos de x. Como 17/(8x + 4) nunca pode ser zero, este gráfico nunca intercepta a reta y = (1/2)x - (7/4). Não adicione nada ao gráfico agora, mas anote essas conclusões para mais tarde.

6. 

   Encontre os extremos locais. Um extremo local pode ocorrer sempre que N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. No exemplo, N'(x) = 4x - 6 e D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Expandindo, combinando termos e dividindo por 4 folhas x + x - 4 = 0. A fórmula quadrática mostra raízes próximas de x = 3/2 e x = -5/2. (Eles diferem em cerca de 0,06 dos valores exatos, mas nosso gráfico não será preciso o suficiente para nos preocuparmos com esse nível de detalhe. A escolha de uma aproximação racional decente facilita a próxima etapa.)

7. 

   Encontre os valores de y de cada extremo local. Insira os valores de x da etapa anterior na função racional original para encontrar os valores de y correspondentes. No exemplo, f(3/2) = 1/16 e f(-5/2) = -65/16. Adicione esses pontos, (3/2, 1/16) e (-5/2, -65/16), ao gráfico. Como fizemos a aproximação na etapa anterior, esses não são os mínimos e máximos exatos, mas provavelmente estão próximos. (Sabemos que (3/2, 1/16) está muito próximo do mínimo local. No passo 3, sabemos que y é sempre positivo quando x > -1/2 e encontramos um valor tão pequeno quanto 1/16, então, pelo menos neste caso, o erro é provavelmente menor que a espessura da linha.)

8. 

   Conecte os pontos e estenda suavemente o gráfico dos pontos conhecidos até as assíntotas, tomando cuidado para abordá-los na direção correta. Tome cuidado para não cruzar o eixo x, exceto nos pontos já encontrados no passo 3. Não cruze a assíntota horizontal ou linear, exceto nos pontos já encontrados no passo 5. Não mude de inclinação ascendente para inclinação descendente, exceto em o extremo encontrado na etapa anterior.

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