有理関数をグラフ化する方法.

有理関数は、y = N(x)/D(x) の形式をとる方程式です。ここで、N と D は多項式です。正確なグラフを手でスケッチしようとすると、基本的な代数学から微分積分まで、高校数学の最も重要なトピックの多くを包括的に復習することになります。次の例を考えてみましょう: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2)。

ステップ

1. 

   y 切片を見つけます。単純に x = 0 と設定します。定数項以外はすべて消えて、y = 5/2 が残ります。これを座標で表すと、(0, 5/2) がグラフ上の点になります。その点をグラフ化します。

2. 

   水平方向の漸近線を見つけます。分母を分子に長く割って、x の絶対値が大きい場合の y の動作を決定します。この例では、除算は y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4) を示します。 x の正または負の値が大きい場合、17/(8x + 4) はゼロに近づき、グラフは直線 y = (1/2)x - (7/4) に近似します。破線または薄く引かれた線を使用して、この線をグラフ化します。
   • 分子の次数が分母の次数より小さい場合、除算は行われず、漸近線は y = 0 になります。
   • deg(N) = deg(D) の場合、漸近線は主要な係数の比率で水平線になります。
   • deg(N) = deg(D) + 1 の場合、漸近線は、傾きが主要係数の比である直線になります。
   • deg(N) > deg(D) + 1 の場合、|x| の値が大きい場合、y は二次、三次、またはより高次の多項式としてすぐに正または負の無限大になります。この場合、除算の商を正確にグラフ化することはおそらく価値がありません。

3. 

   ゼロを見つけます。有理関数は分子が 0 のときは 0 となるため、N(x) = 0 と設定します。この例では、2x - 6x + 5 = 0 となります。この 2 次式の判別式は b - 4ac = 6 - 4*2*5 となります。 = 36 - 40 = -4。判別式が負であるため、N(x)、したがって f(x) には実根がありません。グラフは X 軸を横切ることはありません。ゼロが見つかった場合は、それらの点をグラフに追加します。

4. 

   垂直方向の漸近線を見つけます。垂直漸近線は、分母がゼロのときに発生します。 4x + 2 = 0 を設定すると、垂直線 x = -1/2 が得られます。各垂直漸近線を細い線または破線でグラフにします。 x の値によって N(x) = 0 と D(x) = 0 の両方が構成される場合、そこには垂直漸近線がある場合とない場合があります。これはまれですが、発生した場合の対処方法のヒントを参照してください。

5. 

   ステップ 2 の割り算の余りを見てください。それが正、負、またはゼロになるのはいつか?この例では、剰余の分子は 17 であり、常に正になります。分母の 4x + 2 は、垂直漸近線の右側では正、左側では負になります。これは、x の大きな正の値ではグラフが上から線形漸近線に近づき、x の大きな負の値では下から線形漸近線に近づくことを意味します。 17/(8x + 4) がゼロになることはあり得ないため、このグラフは線 y = (1/2)x - (7/4) と交差することはありません。今はグラフに何も追加しませんが、後で使用できるようにこれらの結論をメモしておきます。

6. 

   局所極値を見つけます。局所極値は、N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0 の場合に常に発生する可能性があります。この例では、N'(x) = 4x - 6 および D'(x) = 4 です。 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. 項の展開、結合、除算4 葉 x + x - 4 = 0 で計算します。二次公式は、x = 3/2 および x = -5/2 付近の根を示します。 (これらは正確な値と約 0.06 の差がありますが、グラフはその詳細レベルを心配するほど正確ではありません。適切な有理近似を選択すると、次のステップが簡単になります。)

7. 

   各極値の y 値を見つけます。前のステップで得た x 値を元の有理関数に戻して、対応する y 値を見つけます。この例では、f(3/2) = 1/16 および f(-5/2) = -65/16 です。これらの点 (3/2、1/16) と (-5/2、-65/16) をグラフに追加します。前のステップで近似したため、これらは正確な最小値と最大値ではありませんが、おそらく近い値です。 ((3/2, 1/16) は極小値に非常に近いことがわかっています。ステップ 3 から、x > -1/2 の場合、y は常に正であることがわかり、1/16 という小さな値が見つかりました。したがって、少なくともこの場合、誤差は線の太さよりも小さいと考えられます。)

8. 

   ドットを接続し、正しい方向から漸近線に近づくように注意しながら、既知の点から漸近線までグラフを滑らかに延長します。ステップ 3 ですでに見つかった点を除き、X 軸を横切らないように注意してください。ステップ 5 ですでに見つかった点を除き、水平または線形の漸近線を横切らないでください。前のステップで見つかった極端な値。

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