Comment représenter graphiquement une fonction rationnelle.

Une fonction rationnelle est une équation qui prend la forme y = N(x)/D(x) où N et D sont des polynômes. Tenter d'esquisser un graphique précis à la main peut constituer un examen complet de bon nombre des sujets mathématiques les plus importants du secondaire, de l'algèbre de base au calcul différentiel. Prenons l'exemple suivant : y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Pas

1. 

   Trouvez l'interception y. Définissez simplement x = 0. Tout sauf les termes constants disparaît, laissant y = 5/2. En exprimant cela sous forme de paire de coordonnées, (0, 5/2) est un point sur le graphique. Tracez ce point sur un graphique.

2. 

   Trouvez l'asymptote horizontale. Divisez longuement le dénominateur en numérateur pour déterminer le comportement de y pour de grandes valeurs absolues de x. Dans cet exemple, la division montre que y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Pour les grandes valeurs positives ou négatives de x, 17/(8x + 4) se rapproche de zéro et le graphique se rapproche de la ligne y = (1/2)x - (7/4). À l’aide d’une ligne pointillée ou légèrement tracée, tracez cette ligne.
   • Si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, il n’y a pas de division à faire et l’asymptote est y = 0.
   • Si deg(N) = deg(D), l'asymptote est une ligne horizontale au rapport des coefficients dominants.
   • Si deg(N) = deg(D) + 1, l'asymptote est une droite dont la pente est le rapport des coefficients dominants.
   • Si deg(N) > deg(D) + 1, alors pour de grandes valeurs de |x|, y passe rapidement à l'infini positif ou négatif en tant que polynôme quadratique, cubique ou de degré supérieur. Dans ce cas, cela ne vaut probablement pas la peine de représenter graphiquement avec précision le quotient de la division.

3. 

   Trouvez les zéros . Une fonction rationnelle a un zéro lorsque son numérateur est zéro, donc définissez N(x) = 0. Dans l'exemple, 2x - 6x + 5 = 0. Le discriminant de cette quadratique est b - 4ac = 6 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Puisque le discriminant est négatif, N(x), et par conséquent f(x), n’a pas de racines réelles. Le graphique ne traverse jamais l’axe des x. Si des zéros ont été trouvés, ajoutez ces points au graphique.

4. 

   Trouvez les asymptotes verticales . Une asymptote verticale se produit lorsque le dénominateur est zéro. Le réglage 4x + 2 = 0 donne la ligne verticale x = -1/2. Représentez graphiquement chaque asymptote verticale avec une ligne claire ou pointillée. Si une valeur de x fait à la fois N(x) = 0 et D(x) = 0, il peut y avoir ou non une asymptote verticale. C'est rare, mais consultez les conseils pour savoir comment y faire face si cela se produit.

5. 

   Regardez le reste de la division à l’étape 2. Quand est-il positif, négatif ou nul ? Dans l'exemple, le numérateur du reste est 17 qui est toujours positif. Le dénominateur, 4x + 2, est positif à droite de l’asymptote verticale et négatif à gauche. Cela signifie que le graphique s'approche de l'asymptote linéaire par le haut pour les grandes valeurs positives de x et par le bas pour les grandes valeurs négatives de x. Puisque 17/(8x + 4) ne peut jamais être nul, ce graphique ne coupe jamais la droite y = (1/2)x - (7/4). N'ajoutez rien au graphique pour le moment, mais notez ces conclusions pour plus tard.

6. 

   Trouvez les extrema locaux. Un extremum local peut se produire chaque fois que N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. Dans l'exemple, N'(x) = 4x - 6 et D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = 0. Développer, combiner des termes et diviser par 4 feuilles x + x - 4 = 0. La formule quadratique montre les racines proches de x = 3/2 et x = -5/2. (Celles-ci diffèrent d'environ 0,06 des valeurs exactes, mais notre graphique ne sera pas suffisamment précis pour se soucier de ce niveau de détail. Choisir une approximation rationnelle décente facilite la prochaine étape.)

7. 

   Trouvez les valeurs y de chaque extremum local. Rebranchez les valeurs x de l'étape précédente dans la fonction rationnelle d'origine pour trouver les valeurs y correspondantes. Dans l'exemple, f(3/2) = 1/16 et f(-5/2) = -65/16. Ajoutez ces points, (3/2, 1/16) et (-5/2, -65/16), au graphique. Puisque nous avons fait une approximation à l'étape précédente, ce ne sont pas les minima et les maxima exacts, mais ils sont probablement proches. (Nous savons que (3/2, 1/16) est très proche du minimum local. À partir de l'étape 3, nous savons que y est toujours positif lorsque x > -1/2 et nous avons trouvé une valeur aussi petite que 1/16, donc au moins dans ce cas, l'erreur est probablement inférieure à l'épaisseur de la ligne.)

8. 

   Reliez les points et étendez doucement le graphique des points connus aux asymptotes en prenant soin de les approcher dans la bonne direction. Attention à ne traverser l'axe des x qu'aux points déjà trouvés à l'étape 3. Ne traverser l'asymptote horizontale ou linéaire qu'aux points déjà trouvés à l'étape 5. Ne passer d'une pente ascendante à une pente descendante qu'à l’extrême trouvé à l’étape précédente.

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